Программа лекций
“Теория колебаний для биофизиков”

В.Б. Казанцев, д.ф.-м.н.

для студентов 3-го курса Отделения Биофизики и Биомедицины



Лекция 1. Введение
Предмет теории колебаний. Понятие динамической системы и фазового пространства, системы с непрерывным и дискретным временем, грубость динамической системы. Примеры простейших динамических систем.

Лекция 2. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
Общее решение систем линейных дифференциальных уравнений. Собственные значения и собственные вектора. Случай действительных и комплексных корней. Теорема Коши. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров. Роль начальных условий и особых траекторий. Понятие бифуркации. Особые траектории динамических систем. Сепаратрисы и сепаратрисные многообразия. Роль сепаратрис в разделении потока траекторий и классификации начальных условий.

Лекция 3. Динамические системы на прямой и окружности
Одномерные динамические системы. Состояния равновесия. Метод линеаризации. Построение фазовой прямой. Временные реализации движений. 

Лекция 4. Основные бифуркации одномерных систем.
Двукратное равновесие. Подкритическая бифуркация. Трехкратное равновесие.

Лекция 5. Устойчивость состояний равновесия систем на плоскости
Линейные системы с одной степенью свободы.  Классификация состояний равновесия нелинейных систем на плоскости. Метод линеаризации. Грубые состояния равновесия на плоскости. Сепаратрисы седловых состояний равновесия. Критические направления.

Лекция 6. Состояния равновесия многомерных систем.
Классификация грубых состояний равновесия трехмерных систем. Многообразия состояний равновесия. Седловые состояния равновесия с различной размерностью многообразий. Линейные преобразования. Приведения линеаризованной системы к нормальному виду.

Лекция 7. Точечные отображения.
Динамические системы с дискретным временем. Диаграмма Кеникса-Ламелея. Модели в виде точечных отображений. Логистическое отображение. Дискретизация непрерывных моделей. Дискретная версия уравнения Ферхюлста. Отображение Пуанкаре к предельному циклу. Мультипликаторы.

Лекция 8. Устойчивость неподвижных точек точечных отображений.
Линейные точечные отображения. Классификация неподвижных точек одномерных нелинейных точечных отображений. Двумерные точечные отображения. 

Лекция 9. Основные бифуркации динамических систем на плоскости.
Двукратное равновесие, бифуркация Андронова-Хопфа, двукратный предельный цикл, петли сепаратрис.

Лекция 10. Консервативные системы
Линейный и нелинейный осцилляторы. Изохронные и неизохронные колебания. Построение фазового портрета нелинейного осциллятора.

Лекция 11. Автоколебательные системы
Метод Ван-дер-Поля. Получение укороченных уравнений. Амплитудно-фазовое описание колебаний на плоскости.

Лекция 12. Разрывные колебания
Метод разрывных колебаний. Модель ФитцХью-Нагумо для описании динамики нервной клетки.

Лекция 13. Синхронизация
Вынужденная и взаимная синхронизация. Синхронизация генератора внешним сигналом.

Лекция 14. Взаимная синхронизация
Синхронизация фазовых осцилляторов. Примеры синхронизации колебаний в нейродинамике.

Лекция 15. Колебания в многомерных нелинейных системах.
Предельные циклы в пространстве. Седловые предельные циклы. Многообразия седловых периодических движений.

Лекция 16. Хаотические колебания.
Динамический хаос. Характеристики хаотической динамики. Восстановление динамических систем по наблюдаемому временному ряду.

Лекция 17. Простейшие модели хаотической динамики
Отображение Фейгенбаума. Переход к хаосу через удвоение периода.

ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
1.    А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний, -М.: Физматгаз, 1959, (-М.: Наука, 1981).
2.    М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984 (1 изд.), 1992 (2 изд.).
3.    Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1987.


Дополнительная литература
1.    В.С. Анищенко. Сложные колебания в простых системах. -М.: Наука, 1990.
2.    А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, Н.М. Рыскин. Нелинейные колебания, –М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2002.
3.    Л.Гласс, М. Мэки. От часов к хаосу: Ритмы жизни, - М. Мир, 1991.
4.    E.M. Izhikevich. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting - MIT Press, 2007.